| 守恒与对称的关系被称为诺特定理。诺特其实是一名数学家，她主要的工作是在抽象代数等方面，在20世纪的数学家中一般被视为仅次于希尔伯特，但是抽象代数太难了所以知名度不高。而物理学只是顺带进行的研究，但是这个定理非常重要。 推导过程 虽然这个定理的发现者是一名数学家，但是推导没有那么难。首先是拉格朗日方程：$$\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0 $$ 注意到在坐标为距离时，以x轴方向为例：$$\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial v_x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$$$\frac{\partial L}{\partial v_x}=\frac{\partial }{\partial v_x}(\frac{1}{2}mv^2-V)=\frac{\partial }{\partial v_x}[\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)-V]=mv_x=p_x$$$$\frac{{\rm d} p_x}{{\rm d} t}-\frac{\partial L}{\partial x}=0 $$ 左侧的\(\frac{{\rm d} p_x}{{\rm d} t}\)是x轴的动量守恒，所以可以得到\(\frac{\partial L}{\partial x}=0\)，也就是x轴方向的平移对称，坐标变化不改变系统的拉格朗日量，也就是系统的状态不变。类似其他方向的动量守恒也是同理。所以动量守恒对应空间平移对称。 如果把位置换成角度，可以得到：$$\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial \omega_x}-\frac{\partial L}{\partial \theta_x}=0$$$$\frac{\partial L}{\partial \omega_x}=\frac{\partial }{\partial \omega_x}(\frac{1}{2}mv^2-V)=\frac{\partial }{\partial \omega_x}[\frac{1}{2}m(v_r^2+v_\theta^2)-V]$$$$=\frac{\partial }{\partial \omega_x}[\frac{1}{2}m(v_r^2+\omega^2r^2)-V]=\frac{\partial }{\partial \omega_x}[\frac{1}{2}mr^2(\omega_x^2+\omega_y^2+\omega_z^2)+\frac{1}{2}mv_r^2-V]=mr^2\omega_x=L_x$$ 发现旋转角度对应了角动量，也就是角动量守恒对应空间旋转对称。 此外，还有寻找能量守恒的对应：$$\frac{{\rm d} E}{{\rm d} t}=\frac{{\rm d} H}{{\rm d} t}=\frac{{\rm d} (p\dot{q}-L)}{{\rm d} t}=\dot{q}\frac{{\rm d} p}{{\rm d} t}+p\frac{{\rm d} \dot{q}}{{\rm d} t}-\frac{{\rm d} L}{{\rm d} t}=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial q}+\ddot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{{\rm d} L}{{\rm d} t}$$$$=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial q}+\ddot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\frac{\partial L}{\partial q} {\rm d} q+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} {\rm d} \dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t} {\rm d} t}{{\rm d} t}=\dot{q}\frac{\partial L}{\partial q}+\ddot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\dot{q}\frac{\partial L}{\partial q}-\ddot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$$ 出现了一个负号但不影响，能量守恒对应的是时间对称。 得到更一般的原因，要回顾欧拉-拉格朗日方程的推导过程\(\delta S=\delta\int L{\rm d}t=\int \delta L{\rm d}t=\int\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\delta t\frac{\partial L}{\partial t}\right){\rm d}t\)，时间均匀变化没有变分\(\int\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right){\rm d}t\)，分步积分\(\int\delta q\frac{\partial L}{\partial q}{\rm d}t+\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\int\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}{\rm d}t=\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\int\left(\frac{{\rm d} }{{\rm d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}\right)=0\)，其中舍弃的一项是\(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)，也就是守恒和对称相关的关键。如果再算上之前舍弃的时间变分，如果不考虑均匀，就会变成\(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\int\delta t\frac{\partial L}{\partial t}{\rm d}t\)，也就是\(\int\left[\frac{{\rm d}}{{\rm d} t}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)+\delta t\frac{\partial L}{\partial t}\right]{\rm d}t\)，如果考虑到第一步推导\(\delta\int L{\rm d}t=\int (\delta L{\rm d}t+L{\rm d}\delta t)\)忽略小量，而\(\delta t\frac{\partial L}{\partial t}{\rm d}t+L{\rm d}\delta t=\delta t\frac{\partial L}{\partial t}{\rm d}t+L\frac{\partial \delta t}{\partial t} {\rm d}t=\frac{\partial L\delta t}{\partial t} {\rm d}t\)，也就是：$$\int\left[\frac{{\rm d}}{{\rm d} t}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)+\frac{\partial L\delta t}{\partial t} \right]{\rm d}t$$ 然后必须用到变分的一个性质\(\delta q=q'(t+\delta t)-q(t)=q'+\dot{q'}\delta t-q=q'+\dot{q}\delta t-q=q'-q+\dot{q}\delta t=\delta_0 q+\dot{q}\delta t\)，其中\(\delta_0 q\)是时间不变的变分，而在不含时间的时候有特殊情况\(\frac{{\rm d}}{{\rm d} t}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta_0 q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\)，因为\(\frac{{\rm d}}{{\rm d} t}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)+\dot{q}\frac{\partial}{\partial q}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)+\ddot{q}\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\)后面两项出现了为0的\(\dot{q}\)和\(\ddot{q}\)，根据\(\delta_0 q=\delta q-\dot{q}\delta t\)，得到：$$\int\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta q\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial}{\partial t}\left(\delta t \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)+\frac{\partial L\delta t}{\partial t} \right]{\rm d}t$$$$\int\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-L\right)\delta t\right]{\rm d}t$$ 其中有守恒的流：$$J=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-L\right)\delta t$$ 被称为诺特流，可以看出来是动量/角动量守恒减去能量守恒。其实可以推广，把坐标换成场，时间换成场的坐标/四维坐标，得到：$$J^\mu=\frac{\partial L}{\partial \nabla_\mu\phi}\delta \phi_\mu-\left(\frac{\partial L}{\partial \nabla_\mu\phi}\nabla_\nu\phi-Lg^{\mu}_{\nu}\right)\delta x^\nu$$ 这证明了所有的守恒都对应了某种对称性。 诺特定理的应用很广，宇称不守恒就是根据镜像对称实验发现的不符合镜像对称，从而证明不成立。 不确定性原理 不确定性原理的不能对易条件普遍是诺特定理中的守恒量和对称量，例如位置和动量，能量和时间，角动量和角度等。这是因为两者具有联系，最为直观的解释就是如果一个守恒量被测量，对应的对称量就会因为测量的概率坍缩而分散，因为守恒量更为守恒，对称量就要在更大范围对称覆盖偏差，只能变得不确定，反之如果对称量被确定，守恒量必须在更大范围守恒覆盖偏差只能变得不确定。更深层次是守恒量和对称量不是线性独立的，两者会耦合出复杂的非线性关系，解耦带来了不确定性原理。 关于诺特本人 诺特是数学家，所以明显可以看出来是把欧拉-拉格朗日方程推导的边角料组合在了一起，也就是欧拉-拉格朗日方程的边界条件，这很有数学家的风格。物理学家不同，因为“好的物理学家用好的近似，坏的物理学家用坏的近似”，这些边角料大概率是不会捡起来拼一拼的。诺特是数学是在抽象代数，研究群环域等这些数学结构的对称性等，比较复杂，所以多数人对她的认知都是物理学的诺特定理。 诺特个人一生未婚，同一时代的数学家普遍评价她只研究数学，其他什么琐事都不做，对学生完全无私不计较成果，所有学生在学术上的帮助都一视同仁。但是，似乎实际上不是这么简单。因为这些只谈学术的印象普遍是占多数的男数学家的评价，因为她和男数学家普遍也基本只是在学术上的讨论和交流，朋友也是学术上的朋友，而女数学家的记录里她和女数学家不仅聊学术，还一起喝下午茶和一起在乡下散步。这是一个值得深思的问题，因为诺特不是只关注学术。诺特因为迫害离开德国后，在美国待了两年就因病去世了，但是这两年她在布林莫尔女子学院这一女校任教，她的学生被称为“诺特女孩”，一起游泳与散步，互相照顾，在家给女学生做饭，极为亲密。诺特的穿着普遍被评价为“类似农妇”不讲究穿着，但是看了她的照片和具体记载似乎不是那么简单，她喜欢浅色衣服，尤其是白色、浅灰色、浅蓝色（诺特生活的年代女装最流行的就是蓝色系尤其是浅蓝色），衣服比较宽大蓬松，中间腰带简单系起，遮掩但不完全遮掩体表特征，头发是长发从不剪短，盘起来或者乱着，还有衣服质感较为厚和结实，这给人厚重感，女性特征明显而无脆弱易碎感，是现代比较常见的选择性吸引女性不吸引男性的穿着。还有，牛顿也是终生未婚但是他对男性和女性都是一样的疏远，自称是看不上任何人，牛顿自称是无性恋。但是诺特与女性的互动明显是比牛顿和别人的互动亲近的。居里夫人是同一时期的女科学家，但是她的社交圈就没有这种显著偏向女性。所以，诺特女孩很可能是数学版的萨福社团。诺特大概率是百合。 |
