Z箍缩是指在z轴方向是进行通电，从而产生强磁场的磁约束方法，原理极为简单，就是在等离子体通上强电流，电流会产生一个角向磁场，而粒子在其中受到的洛伦兹力向内，所以就会被压缩，从而引发核聚变。Z箍缩属于箍缩聚变，可以认为属于广义上的磁约束核聚变，也有人认为更接近惯性约束核聚变。Z箍缩装置的结构非常简单，中间是燃料柱，边上围一圈或几圈金属丝，金属丝短时间通极大电流会爆炸，把中间的核燃料柱压缩等离子体化，然后突然通大电流，电流产生磁场，磁场与电流有安培力，受力方向指向中心，所以等离子体会被磁场压缩和约束，温度和密度升高，就可以实现点火了。 结构示意图  实验室进行Z箍缩，电流很小达不到点火温度，不稳定性因此也很弱 求解方程 通过求解MHD方程组，可以得到Z箍缩的方程，取没有静电场，不带电等离子体，取麦克斯韦方程组的电生磁方程（不含容）\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}=\mu_0{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over J}}\)，只有z轴有电流且磁场完全是环向的，所以是\(\frac{1}{r}\frac{{\rm d} (rB_\varphi)}{{\rm d} r}=\mu_0J_z\)，静态下力学方程速度为0，可以得到\(-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over J}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}=0\)，运用压强在径向，得到\(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r}=-J_zB_\varphi\)，可以推出：$$\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r}+\frac{1}{\mu_0r}\frac{{\rm d} (rB_\varphi)}{{\rm d} r}B_\varphi=0$$$$\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r}+\frac{B_\varphi}{\mu_0}\frac{{\rm d} B_\varphi}{{\rm d} r}+\frac{B_\varphi^2}{\mu_0r}=0$$$$\frac{{\rm d}}{{\rm d} r}\left(p+\frac{B_\varphi^2}{2\mu_0}\right)+\frac{B_\varphi^2}{\mu_0r}=0$$ 这就是理想Z箍缩的平衡方程，考虑外加磁场，径向没有磁场（无源场），力学方程改为\(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r}=J_\varphi B_z-J_z B_\varphi\)，电磁学方程改为\(\frac{1}{r}\frac{{\rm d} (rB_\varphi)}{{\rm d} r}=\mu_0J_z\)和\(-\frac{{\rm d} B_z}{{\rm d} r}=\mu_0J_\varphi\)，得到：$$\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r}=-\frac{B_z}{\mu_0}\frac{{\rm d} B_z}{{\rm d} r}-B_\varphi\frac{1}{\mu_0r}\frac{{\rm d} (rB_\varphi)}{{\rm d} r}$$$$\frac{{\rm d}}{{\rm d} r}\left(p+\frac{B_z^2+B_\varphi^2}{2\mu_0}\right)+\frac{B_\varphi^2}{\mu_0r}=0$$ 根据位力定理\(\left<T\right>=-\frac{1}{2}\left<\sum {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over F_i}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over r}}\right>\) （平均情况下，可以认为是从中间爆炸到分散成各个质点的，总和平均动能就是场力做功的大小，因为\(T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}pv\)，所以可以得到\(T=\frac{1}{2}p\frac{r}{t}=\frac{1}{2}\frac{p}{t}r=\frac{1}{2}Fr\)，换坐标系得到最终结果），进行积分：$$\int^V_0 r\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r}{\rm d}V=\int^r_0 r\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} r} 2\pi rL{\rm d}r=2\pi L\int^{p_r}_{p_0} r^2{\rm d}p=\left.2\pi Lr^2p\right|^r_0-2\pi L\int^r_0 p2r{\rm d}r=-2\int^r_0p2\pi Lr{\rm d}r=-2\int^V_0p{\rm d}V$$$$=-\int^V_0 r\frac{B_z}{\mu_0}\frac{{\rm d} B_z}{{\rm d} r}{\rm d}V-\int^V_0 rB_\varphi\frac{1}{\mu_0r}\frac{{\rm d} (rB_\varphi)}{{\rm d} r}{\rm d}V=-2\pi L\left(\int^{B_{z,r}}_{B_{z,0}} r^2\frac{B_z}{\mu_0}{\rm d} B_z+\int^{rB_{\varphi,r}}_{0} r\frac{B_\varphi}{\mu_0}{\rm d}(rB_\varphi)\right)$$$$=-2\pi L\left(\int^{B_{z,r}^2}_{B_{z,0}^2} r^2\frac{1}{2\mu_0}{\rm d} (B_z^2)+\int^{r^2B_{\varphi,r}^2}_{0} \frac{1}{2\mu_0}{\rm d}[(rB_\varphi)^2]\right)$$ 取\(B_{z,r}=0\)边界磁场可以忽略，以及简化的磁生电公式\(2\pi r B_\varphi=\mu_0 I\)，得到：$$-2\int^V_0p{\rm d}V=-\frac{\mu_0I^2}{4\pi}L+\int^{r}_{0}\frac{B_z^2}{\mu_0}{\rm d}V$$$$\int^V_0(p+\frac{B_z^2}{2\mu_0}){\rm d}V=\frac{\mu_0I^2}{8\pi}L$$ 其中\(\frac{B_z^2}{2\mu_0}\)是外磁场的磁压。然后用\(pV=Nk_B T\)，以及线密度\(\lambda_N=\frac{N}{L}\)得到：$$\mu_0I^2=8\pi\lambda_N k_B(T_i+ZT_e)+8\pi\int^{r}_{0}\frac{B_z^2}{2\mu_0}{\rm d}S$$ 这被称为贝内特关系式。可以运用\(T_e=T_i=T\)得到\(T_i+ZT_e=T(1+Z)\)计算三重积：$$nT=\frac{\mu_0I^2}{8\pi^2 k_Br^2(1+Z)}-\frac{1}{\pi r^2k_B(1+Z)}\int^{r}_{0}\frac{B_z^2}{2\mu_0}{\rm d}S$$ 如果非常不稳定，可以认为只能用磁流体的波动估算。近似磁流体的NS方程的线性方程\(\rho\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over J}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\)，如果波动是压强是声波，波动是磁场的是等离子体最重要的波，也是等离子体不稳定传播的最大速度。可以得到\(\rho\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}={\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over J}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}i\)，运用不含容电生磁\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}=\mu_0{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over J}}\)得到：$$\rho\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}=\frac{1}{\mu_0}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}=\frac{1}{\mu_0}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}-\frac{1}{\mu_0}\frac{1}{2}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}B^2=\frac{1}{\mu_0}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}$$ 其中\(\frac{1}{\mu_0}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\)项为0，因为这一项是磁场场强的变化，是z方向的波动，没有传播方向x方向的贡献，近似：$$\rho\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{B}{\mu_0}\frac{\partial B}{\partial z}$$ 然后是电磁感应定律\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over E}}=-\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}}{\partial t}\)和洛伦兹力\(q{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over E}}=q{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}\)，得到：$$-\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}}{\partial t}={\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\times{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}=({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over B}})=-\frac{\partial vB}{\partial z}$$ 磁场扰动很小的情况下：$$\frac{\partial B}{\partial t}=B\frac{\partial v}{\partial z}$$ 然后线性化：$$B=B_0+b$$$$v=0+v$$$$\rho\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{B_0}{\mu_0}\frac{\partial b}{\partial z}$$$$\frac{\partial b}{\partial t}=B_0\frac{\partial v}{\partial z}$$ 得到波动方程：$$\rho\frac{\partial^2 v}{\partial t\partial z}=\frac{B_0}{\mu_0}\frac{\partial^2 b}{\partial z^2}$$$$\frac{\partial^2 b}{\partial t^2}=B_0\frac{\partial^2 v}{\partial z\partial t}$$$$\frac{\partial^2 b}{\partial t^2}=\frac{B_0^2}{\rho\mu_0}\frac{\partial^2 b}{\partial z^2}$$ 波速就是\(v=\frac{B}{\sqrt{\rho\mu_0}}\)，从外到内传播的时间就是阿尔文时间\(\tau=\frac{R}{v}=\frac{R\sqrt{\rho\mu_0}}{B}\)，然后近似\(2\pi rB_\varphi=\mu_0I\)，而磁场变化主要是电流产生的磁场的变化与崩溃，所以\(B=B_\varphi\)，得到\(\tau=\frac{2\pi R^2\sqrt{\rho\mu_0}}{\mu_0I}\)，所以三重积是：$$nT\tau=\frac{I\sqrt{\rho\mu_0}}{4\pi k_B(1+Z)}-\frac{2\sqrt{\rho\mu_0}}{\mu_0Ik_B(1+Z)}\int^{R}_{0}\frac{B_z^2}{2\mu_0}{\rm d}S$$ 对于最简单的氘氚核聚变，功率是\(P=n_Dn_T\left<\sigma v\right>E_\alpha=\frac{n^2}{4}\left<\sigma v\right>E_\alpha\)，辐射功率是\(P=C_BZ^3n\sqrt{T}\)（\(C_B=5.35\times10^{37}\)），得到\(n=\frac{4C_BZ^3\sqrt{T}}{\left<\sigma v\right>E_\alpha}\)，把三重积除以\(\sqrt{n}\)，其中\(\rho=mn\)得到：$$\sqrt{n}T\tau=\frac{I\sqrt{m\mu_0}}{4\pi k_B(1+Z)}-\frac{2\sqrt{m\mu_0}}{\mu_0Ik_B(1+Z)}\int^{R}_{0}\frac{B_z^2}{2\mu_0}{\rm d}S$$ 估算一下，会发现三重积最大为\(10^{20}\)数量级，就差一个数量级，达不到聚变条件。 不稳定性 Z箍缩难以达到聚变条件，主要是不稳定性太大，主要是腊肠（模）不稳定性和扭曲（模）不稳定性。 1.腊肠不稳定性： 类似图中这样，电流一致，越粗电流密度越小，磁场越小，越细磁场越大，导致越细的地方磁压越大，导致进一步变细，形成正反馈，最后断开成类似腊肠的一节一节的状态。  根据\(\frac{{\rm d}}{{\rm d} r}\left(p+\frac{B_z^2+B_\varphi^2}{2\mu_0}\right)+\frac{B_\varphi^2}{\mu_0r}=0\)，施加小的扰动\(B_\varphi=B_\varphi+b\)，可以得到：$$\frac{{\rm d}^2p}{{\rm d} r{\rm d}t}+\frac{{\rm d}^2}{{\rm d} r{\rm d}t}\frac{B_z^2+B_\varphi^2+2B_\varphi b+b^2}{2\mu_0}+\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{B_\varphi^2+2B_\varphi b+b^2}{\mu_0r}=0$$$$\frac{{\rm d}^2p}{{\rm d} r{\rm d}t}+\frac{1}{\mu_0}\frac{{\rm d}B_\varphi}{{\rm d} r}\frac{{\rm d}b}{{\rm d}t}+\frac{B_\varphi}{\mu_0}\frac{{\rm d}^2b}{{\rm d} r{\rm d}t}+\frac{2B_\varphi}{\mu_0r}\frac{{\rm d}b}{{\rm d}t}=0$$ 运用关系\(B_\varphi=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{\mu_0 I}{2\pi (r+r')}\approx \frac{\mu_0 I}{2\pi r}-\frac{\mu_0 I}{2\pi r^2}r'\)，\(b=-\frac{\mu_0 I}{2\pi r^2}r'\)得到：$$\frac{{\rm d}^2p}{{\rm d} r{\rm d}t}-\frac{I}{2\pi}\frac{{\rm d}B_\varphi}{{\rm d} r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^2}+\frac{IB_\varphi}{\pi}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^3}-\frac{B_\varphi I}{\pi r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{ r^2}=0$$ 然后是把压强换成\(p=p+p'\)，得到：$$\frac{{\rm d}^2p'}{{\rm d} r{\rm d}t}-\frac{I}{2\pi}\frac{{\rm d}B_\varphi}{{\rm d} r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^2}+\frac{IB_\varphi}{\pi}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^3}-\frac{B_\varphi I}{\pi r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{ r^2}=0$$$$\frac{{\rm d}^2p'}{{\rm d} r{\rm d}t}+\frac{\mu_0 I^2}{4\pi^2r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^2}+\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^3}-\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{ r^2}=0$$ 运用近似\(p=\int^r_0-JB_\varphi{\rm d} r=-\int^r_0\frac{I}{\pi r^2}\frac{\mu_0 I}{2\pi r}{\rm d} r=\frac{\mu_0 I^2}{4\pi^2 r^2}\)，平均压强则是\(\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2 r^2}\)，\(近似p'=\frac{\mu_0 I^2r'}{4\pi^2 r^3}\)，得到：$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{3\mu_0 I^2r'}{4\pi^2 r^4}+\frac{\mu_0 I^2}{4\pi^2r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^2}+\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2r}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^3}-\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{ r^2}=0$$ 近似得到：$$\frac{3\mu_0 I^2r'}{4\pi^2 r^4}+\frac{\mu_0 I^2}{4\pi^2r^2}\frac{r'}{r^2}+\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2r}\frac{r'}{r^3}-\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2}\frac{r'}{ r^2}=0$$$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{3\mu_0 I^2r'}{4\pi^2 r^4}+\frac{\mu_0 I^2}{4\pi^2r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^2}=0$$$$3\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^4}=-\frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{r'}{r^2}$$ 积分，得到：$$3\frac{r'}{r^4}=-\frac{1}{r^2}\frac{r'}{r^2}+\frac{r'}{r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{1}{r^2}$$$$\frac{4}{r^4}=\frac{1}{r^2}\frac{2r'}{r^3}$$$$r'=2r$$ 如果忽略惯性，增长瞬间完成，是惯性主导的。 2.扭曲不稳定性： 类似图中这样，一旦弯曲，弯入的地方内侧磁场互相叠加，磁场变强，外侧同理，磁场变弱，磁场变强受压更大，导致就会在磁场的作用下进一步弯曲，形成正反馈扭曲缠绕最后崩溃。  对于曲率\(K=\frac{1}{R}\)，均匀情况下磁场是\(B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)，叠加后变为\(B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}KR\)，R是距离曲率圆圆心的距离，中线正好与不弯曲一致，然后等离子体上磁场扰动是\(b=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}Kx\)，距离变成扭曲方向上与等离子体中心线的距离，受到弯曲力\(ILb=\frac{\mu_0 I^2L}{2\pi r}Kx\)，可以得到\(\rho\frac{{\rm d}^2R}{{\rm d}t^2}=\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^3}Kx\)，增速是\(\frac{{\rm d}^2R}{{\rm d}t^2}=\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^3\rho}Kx\)，近似\(x=r\)，得到：$$\frac{{\rm d}^2R}{{\rm d}t^2}=\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2\rho}K$$$$\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\frac{1}{K}=\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2\rho}K$$ 线性化\(K=K+K'\)，得到：$$\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\frac{1}{K+K'}=-\frac{1}{K^2}\frac{{\rm d}^2K'}{{\rm d}t^2}=\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2\rho}K$$$$\frac{{\rm d}^2K'}{{\rm d}t^2}=-\frac{\mu_0 I^2}{2\pi^2 r^2\rho}K^3$$ 增速非常快，如果电流足够小和半径、密度足够大可以控制，但是在Z箍缩的极细等离子体和电流约束，导致无法抑制，增速依然是惯性主导的。 总之，两者的发展速度都非常快，是惯性主导的，基本与小扰动的传播速度一致，所以阿尔文时间内就会崩溃。我们经常把扰动视为\(\xi=e^{i(m\theta+kz)}\)，其中\(m=0\)就是腊肠不稳定性，\(m=1\)就是扭曲不稳定性，\(m\ge 2\)对于细等离子体可以忽略，是槽纹不稳定性，非常大是气球不稳定性，可以通过控制尺寸小于扰动的波长（扰动波属于阿尔文波的复波）实现抑制，但是Z箍缩的长度一般比较大难以实现，而香肠不稳定性无法抑制只能对抗或者放弃。正反馈的不稳定性过于严重，所以，我们放弃了Z箍缩约束核聚变，只能转而进行Z箍缩引发的惯性约束核聚变。 Z箍缩引发的惯性约束核聚变 不同于狭义上Z箍缩是一种磁约束核聚变，这是一种惯性约束核聚变的方法，对于惯性约束，约束时间就是扩散时间。 首先是压缩，很简单，就是雪耙模型，类似于雪耙铲雪，越铲雪耙上的雪越多，也就铲得越慢。这个过程是因为外面的金属丝爆炸时，电离外层，然后逐渐收缩把内层也电离了。作用力很简单就是\(F=-ILB=-IL\frac{1}{2}\frac{\mu_0I}{2\pi r}=-\frac{\mu_0I^2L}{4\pi r}\)，磁场是平均，内层磁场被等离子体屏蔽为0，平均所以除以2，向外为正所以为负号，动量是\(p=m\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}=[\rho L\pi(r_0^2-r^2)]\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}\)，近似密度恒定难以压缩，得到：$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[\rho L\pi\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]=-\frac{\mu_0I^2L}{4\pi r}$$ 求解方程：$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]=-\frac{\mu_0I^2}{4\rho \pi^2 r}$$$$\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]{\rm d}t\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]=\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]{\rm d}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]=-\frac{\mu_0I^2}{4\rho \pi^2 r}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]{\rm d}t=-\frac{\mu_0I^2}{4\rho \pi^2 r}(r_0^2-r^2){\rm d}r$$$$\int^{\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]}_{0}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]{\rm d}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]=-\int^{r}_{r_0}\frac{\mu_0I^2}{4\rho \pi^2 r}(r_0^2-r^2){\rm d}r$$$$\frac{1}{2}\left[\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}(r_0^2-r^2)\right]^2=-\frac{\mu_0I^2}{4\rho \pi^2}r_0^2\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)+\frac{\mu_0I^2(r_0^2-r^2)}{8\rho \pi^2}$$$$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}=\frac{1}{r_0^2-r^2}\sqrt{-\frac{\mu_0I^2}{2\rho \pi^2}r_0^2\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)+\frac{\mu_0I^2(r_0^2-r^2)}{4\rho \pi^2}}$$$$t=\int_0^{r_0}\frac{r_0^2-r^2}{\sqrt{-\frac{\mu_0I^2}{2\rho \pi^2}r_0^2\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)+\frac{\mu_0I^2(r_0^2-r^2)}{4\rho \pi^2}}}{\rm d}r=\frac{2\pi\sqrt{\rho}}{\sqrt{\mu_0}I}\int_0^{r_0}\frac{r_0^2-r^2}{\sqrt{-2r_0^2\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)+(r_0^2-r^2)}}{\rm d}r$$ 积分求不出了，只能近似认为\(0.43r_0\)，所以是\(t=0.43\frac{2\pi\sqrt{\rho}r_0}{\sqrt{\mu_0}I}\)。 然后是约束，阿尔文时间。 最后是扩散，扩散速度就是声速\(v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}=\sqrt{\frac{\gamma Nk_BT}{N_im_i}}=\sqrt{\frac{\gamma (N_i+N_e)k_BT}{N_im_i}}=\sqrt{\frac{\gamma (1+Z)k_BT}{m_i}}=\sqrt{\frac{\gamma (N_i+N_e)k_BT}{N_im_i}}=\sqrt{\frac{\gamma 2k_BT}{m_i}}\)，其中\(\gamma=\frac{5}{3}\)，得到\(v=\sqrt{\frac{10k_BT}{3m_i}}\)，速度非常快。约束时间是\(\tau=\frac{r}{v}=r\sqrt{\frac{m_i}{\gamma 2k_BT}}\)。 所以，惯性约束的三重积是：$$nT\tau=\frac{\mu_0I^2}{8\pi^2 k_Br(1+Z)}\sqrt{\frac{m_i}{\gamma 2k_BT}}-\frac{1}{\pi rk_B(1+Z)}\sqrt{\frac{m_i}{\gamma 2k_BT}}\int^{r}_{0}\frac{B_z^2}{2\mu_0}{\rm d}S$$ 声速和阿尔文波速度近似，同样差一个数量级是\(10^{20}\)，但是增大数倍电流就可以实现点火了，因为三重积近似正比于电流的平方。 消除不稳定性 惯性约束其实就是不约束，因为氢弹也是靠燃料惯性短时间无法散开被原子弹中子加热达到聚变条件的。甚至原子弹也是惯性约束核裂变（核电站是晶格约束）。所以，有人想要消除不稳定性，例如外加磁场或注入电磁波，从而让不稳定性消失，但是这需要非常快和阿尔文波一样快，所以很难。抑制腊肠不稳定性相对简单，通过轴向磁场，可以让磁感线纽成麻花状，让轴向磁场的磁通量产生的磁压力形成负反馈抑制不稳定性，因为之前是\(r'=2r\)，环向是扰动变化的与扰动大小有关，轴向不变磁通量只和总半径有关，所以\(B_\varphi^2=2B_z^2\)，条件是\(B_z^2\ge\frac{1}{2}B_\varphi^2 \)，这是磁化衬套聚变思路。抑制扭曲不稳定性复杂，可以缩短等离子体柱但是效果较差，可以让纵向磁场不均匀，从而让不同半径磁场方向不一致，或者让电流的方向随半径不一致，让扭曲后内侧磁场叠加外加磁场弱，外侧叠加磁场强，从而抑制。但是这种剪切过强容易引发瑞利-泰勒不稳定性，也就是外层受压大于内层导致内外翻转，以及粒子漂移、以及湍流，其中湍流有电阻驱动的电阻撕裂和流体粘度驱动的大破裂。 目前最好的成绩是微秒级别，提高了一个词头，三个数量级。 可以说人的一生，就是和各种正反馈不断对抗，直到化为粪土。人类文明也是如此，人类的几乎一切活动都是如此。核聚变就是其中之一。 惯性约束路径 或者，直接惯性约束，放弃控制。这种方案的重点是节省成本，减少外电流的消耗，加反射层减少辐射损耗增加聚变率，以及减少金属丝和燃料柱/靶丸的成本。本质上是成本入不敷出，想办法要让成本回来。 短时间内，让惯性约束利用的最好方法是作为中子源，发射中子，用于嬗变核废料等。  惯性约束的Z箍缩装置 Z箍缩有未来吗 目前看，希望很渺茫，但是这至少也是一条路。Z箍缩的不稳定性太大，但是也不能否定有一天会不会发现消除不稳定性的方法。Z箍缩磁约束最大的好处是结构简单和思路特殊（如果核聚变是大过滤器，大概率必须用特殊的方法实现），如果按照磁约束，也就是思路特殊的方法实现，必须以想办法直接干预对抗不稳定性。当然，对于惯性约束，跑赢不稳定性即可。但是，目前Z箍缩是不稳定性偏多的约束模式，在目前的研究中比托卡马克、仿星器、反场箍缩等都要不稳定，这一点是必须确定的。 我们希望，不对，我们必须找到一种方法实现核聚变，否则无法实现航宇技术，也就无法解决文明高概率的大过滤器了。我们必须找到方法，我们只能认为可以找到方法。引力约束如此简单，因为引力不与等离子体耦合，宇宙中到处都是，而磁约束如此困难，惯性约束可能还是核爆锅炉可行。目前已知的所有大幅提高约束时间和工程Q值的方案都是做大，所以很可能文明寿命短暂的灾难，也就是大过滤器就是必须把核聚变装置做大到非常大，需要解决大量科学外的问题例如工程加工、经济等。当然，如果有人发现了在等离子体的混沌中有一个涌现出来的稳定结构，例如一个孤子，把核聚变实现了，那这里可以不用看了。我现在不知道如何解决核聚变这个问题。对于我们的未来，我们要走向哪里？我们能走向哪里？我不知道。 |
