| 混沌是非线性系统演化的不可预测现象，对应的图像是分形。分形不可导，是粗糙的，例如门格海绵、科赫雪花、魏尔斯特拉斯函数的图像、康托尔集、逻辑斯蒂图、曼特博罗集等图形，以及海岸线、血管、树木、闪电、湍流；流形则是与线性系统密切相关，是可导的，光滑的，例如常见几何体，球、长方体、棱锥、球壳，以及汽车、飞机、房子、电视、电脑、手机等物品。分形最大的特点是自相似性，因为分形不可导，所以无法放大后变成平滑的低维面，所以总是出现类似原来的图像的形状。 分形的自相似性让我想到了自指与悖论，我在想，两者是否有某种可怕的联系，这或许是真的。或者说，哥德尔不完备定理的几何意义是什么？ 首先，把系统对应图形可以看作是大量点连接形成的图，图中间是包含面的，但是这很复杂，所以可以把面去除，这会损失一定的信息，但是可以简化问题。对于有限图，可以用邻接矩阵表示，所以数量是可数无穷\(\aleph_0\)，可以和哥德尔数一一对应。具体的对应方式暂时不是很清楚，个人认为可以用图灵机，图灵机的运算过程可以视为在图上穿行，可以对应图，图上可以连接外部输入，以及输出到下一张图。对于哥德尔不完备定理的\(sub(n,n,17)\)，可以表示为一张图，但是这张图很特殊，因为输入包含自身，在包含的自身也包含自身，这个图是一个无限嵌套的自相似的图，对应的正是一个分形，所以这个分形于悖论等效，无法研究。 这里举一个简单的例子：有这一个图，2个输入1个输出。  两个输入就是自身的情况是这样：  出现了分形，所以分形和自指是等价的。 这样，就证明了一个可怕的结论：分形即悖论，很多分形无法用数学研究。很多混沌系统可能也是，N-S方程解的判定问题可能不可证明或证伪。 我们不知道，我们不能知道。 |
