流体物理入门

  此外，还有粘滞阻力，但是计算复杂，例如球体的粘滞阻力就是\(\tau S=\eta \frac{v}{r}S=4\pi r \eta v\)，速度梯度因为不可压缩流体可以等效为均匀环绕球体，考虑最前端，中间速度为0，球边界不受球体影响，距离为球的半径，可以认为速度梯度就是\(\frac{v}{r}\)，再加上低速的压差阻力就是边界层与外层的摩擦，只有前半个球体有，是\(2\pi r \eta v\)，加在一起就是球体阻力的斯托克斯公式：$$f=6\pi r \eta v$$

  可以运用能量公式\(E_k+E_p+\Delta E=E\)得到一个能量公式：
$$\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=C$$

  其中C表示常数，这个公式叫做伯努利公式，流速越大，压强越小。

  还有，牛顿粘性定律，速度梯度与剪切应力成正比，但是速度梯度就是速度的不均匀性，类似牛顿第二定律，但是不是速度随时间变化，而是随空间变化，而系数，也就是阻碍速度梯度增大的是黏度。$$\overleftrightarrow{\tau}=-\eta{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over\nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}$$
  因为最早研究的是粘滞应力，也就是阻力，剪切应力的反作用应力，所以剪切力有负号。

  对于非牛顿流体，就是黏度不是常数而是剪切应力、时间的函数\(\eta({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over\nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}},t)\)，有剪切变稀流体、剪切变稠流体、达到一定剪切力突然变稀的宾汉流体、随剪切时间不断变稀事后才能恢复的触变性流体、随剪切时间不断变稠事后才能恢复的震凝性流体，以及能记住历史形变的黏弹性流体等。

  还有，近似计算飞机升力的库塔-茹科夫斯基升力公式：$${\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over F}}=-\int\rho {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\Gamma\times{\rm d}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over l}}$$
  其中绕翼速度环量\(\Gamma=\oint_{C}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\rm d}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over l}}\)，推导过程是：$$\rho\Gamma=\oint_{C}\rho{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\rm d}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over l}}=\oint_{C}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over p_\rho}}\cdot{\rm d}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over l}}$$
  可以看到出现了绕翼动量，前端速度无差异，可以忽略，而后端速度不等大小，上面速度快，向下的动量大于向上的动量，产生升力，可以近似\(\rho\Gamma\approx 2\pi rp_{\rho,z}\)，得到：$$-\frac{\rm d}{{\rm d} t} \rho\Gamma= 2\pi r\left(-\frac{{\rm d}p_{\rho,z}}{{\rm d} t}\right)=-2\pi rF_{\rho,z}$$$$-\rho\Gamma v=-\rho\Gamma\frac{s}{t}=-2\pi r\frac{p_{\rho,z}s}{t}=-2\pi rsF_{\rho,z}$$
  引入的速度是来流速度，时间足够短时，动量流出可以视为位于定点，流入可以视为位于定点，同时微小的时间内来流的位移可以视为流体流经的圆环的宽度，极窄，可以认为圆环面积与展开后近似的长方形相当，也就是\(S=2\pi rs\)，可以得到平面力为\(-\rho v \Gamma\)，考虑方向，积分，即可得到结果。

  通过这些，可以得到“马格努斯效应”，也就是旋转会导致产生横向的受力，这种横向的受力就是速度环量带来的升力。但是，具体计算还是直接积分准确，切面法误差巨大。

  虽然现在对飞机为什么会飞的解释不是很明确，但是原因之一就是一侧速度快一侧速度慢产生的压差，也有部分是斜向迎风的空气阻力的分量形成升力，另一部分是诱导阻力。

复杂的公式
  除去这些非常简单的公式，其他公式普遍开始困难了。首先，是连续性方程，还是比较简单，质量的变化等于质量的流出，\(\frac{\partial \rho}{\partial t}=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot\rho {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\)，可以用流体总体密度不变的全微分推导：$$\frac{{\rm d} \rho}{{\rm d} t}=\frac{1}{{\rm d} t}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t}{\rm d}t+\frac{\partial\rho}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial\rho}{\partial y}{\rm d}y+\frac{\partial\rho}{\partial z}{\rm d}z\right)=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho}{\partial x}v_x+\frac{\partial\rho}{\partial y}v_y+\frac{\partial\rho}{\partial z}v_z=\frac{\partial\rho}{\partial t}+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot\rho {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}=0$$
  对于不可压缩流体，很简单，密度是常数，不随时间变化，也不随空间变化可以直接提取出来，所以\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}=0\)。

  然后，是运用牛顿第二定律\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over F}}=m{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over a}}\)，可以得到单位体积力的牛顿第二定律：$$\rho{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over a}}={\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over {f_\Sigma}}}$$
  把加速度展开：$$\rho\frac{{\rm d}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{{\rm d} t}=\rho\frac{{\rm d}}{{\rm d} t}\left(\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}{\rm d}t+\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial y}{\rm d}y+\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial z}{\rm d}z\right)=\rho\left(\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}+\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial x}v_x+\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial y}v_y+\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial z}v_z\right)=\rho\left(\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}+({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\right)={\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over {f_\Sigma}}}$$
  然后运用之前的压强是能量密度和力是能量梯度，得到压强梯度是体积力，更准确的说法是负梯度，也就是\(-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p\)压强梯度力，此外还有类似的剪切力\(-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot\overleftrightarrow{\tau} =-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot(-\eta{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})=\eta\nabla^2{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\)，可以进一步得到合力\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over {f_\Sigma}}}=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p+\eta\nabla^2{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over f}}\)，最后剩余了一项其他体积力，如重力\(\rho g\)等。可以得到不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程，简称不可压缩流体的N-S方程。$$\rho\left(\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}+({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\right)=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p+\eta\nabla^2{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over f}}$$
  这是一个非常可怕的非线性矢量偏微分方程，或者说非线性偏微分方程组，不用说求解，哪怕求解的判定，也是千禧年七大数学难题之一，极度复杂。观察方程，可以得到，如果流体压强增大，就会加速，流体一加速，压强就减小，流体减速，所以流体越快流体越慢 所以流体具有不稳定性，流体运动是混沌不可预测的，非线性带来了这种效应。


  在特殊情况下，流体方程可以近似视为线性的，这种情况下流体分层流动，互不混合，被称为层流。

  其他情况下，流体是混沌的乱流，被称为湍流（紊流），流体疯狂对流，无法预测，大气就是这种情况，所以天气预报不准。流体的层流是特殊的，除了层流就是湍流。线性是特殊的，除了线性就是混沌的非线性。

  个别情况下湍流可以涌现出规则的结构，例如卡门涡街。

  一般情况下，层流遇到障碍物时就会容易与障碍物突起部分分离，从而转捩（liè）为湍流，压强急剧降低，产生压差阻力，甚至引发飞机失速坠毁。也会导致山上的云海形成，甚至形成降雨。此外，膨胀也会引发转捩。

  对于可压缩流体，同样是非线性矢量偏微分方程，不同在右侧要有\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\)项，推广黏性项，可以得到类似的\(\eta{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})\)，但是因为点乘是三维的所有分量加在一起，所以要除以维度3，外加上修正的体积黏度\(\eta_V{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})\)，定义不除以3，可以得到：$$\rho\left(\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}+({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\right)=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p+\eta\nabla^2{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}+\left(\frac{1}{3}\eta+\eta_V\right){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over f}}$$
  一般忽略体积黏度，也就是：$$\rho\left(\frac{\partial {\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}}{\partial t}+({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\right)=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}p+\eta\nabla^2{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}+\frac{1}{3}\eta{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})+{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over f}}$$
  此外，还有传热方程，除了热传导，还有热对流，所以非常复杂，对于不可压缩流体，只需要改造热传导方程即可。热传导方程就是升温公式\(Q=c_pm\Delta T\)，\(\frac{Q}{V}=c_p\rho\Delta T\)，\(c_p\rho\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{{\rm \delta} Q}{V{\rm d}t}=\mathit{\Phi}\)，加入热量的传输项，热从高温向低温传导，而且是线性的，也就是温度的负梯度\(-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}T\)，同时，热量的流失，正比于温度流的通量，对于单位体积下就是散度，也就是\(-\nabla^2 T\)，然后引入热传导系数，以及考虑应该为热量的流入，得到：$$c_p\rho\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla^2 T+\mathit{\Phi}$$
  推广到流体，就是把对时间求偏导数改为全导数，也就是物质导数/随体导数，可以得到一个非线性标量偏微分方程，变成标量了，但是依然非常复杂。$$c_p\rho\left(\frac{\partial T}{\partial t}+({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}})T\right)=k\nabla^2 T+\mathit{\Phi}$$
  可以定义内能除以质量为比内能，把左侧的单位体积改为单位质量，把密度移动到右侧得到：$$\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=\frac{1}{\rho}(k\nabla^2 T+\mathit{\Phi})$$
  对于可压缩流体，就必须考虑流体压缩与膨胀的功，运用之前推导的单位体积能量与压强等效，运用连续性方程，把密度换成压强，得到做功项\(-p({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})\)，得到方程：$$c_p\rho\left(\frac{\partial T}{\partial t}+({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}})T\right)=k\nabla^2 T-p({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})+\mathit{\Phi}$$$$\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=\frac{1}{\rho}(k\nabla^2 T-p({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}})+\mathit{\Phi})$$
  如果考虑热辐射，还可以加入额外耗散项。

  还有焓方程：$$\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}+\frac{p}{m}\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}+\frac{1}{\rho}\frac{{\rm d}p}{{\rm d}t}$$
  考虑到\(\frac{p}{m}\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}\)就是之前提到的做功项，去掉这项，加入\(\frac{1}{\rho}\frac{{\rm d}p}{{\rm d}t}\)，得到：$$\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}=\frac{1}{\rho}(k\nabla^2 T+\frac{{\rm d}p}{{\rm d}t}+\mathit{\Phi})$$
  还有熵方程：$$\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=T\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}-\frac{p}{m}\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}$$
  比较这个方程和内能方程，去掉减去的功项，得到熵方程：$$\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}=\frac{1}{\rho T}(k\nabla^2 T+\mathit{\Phi})$$

  多数情况下，流体难以压缩，流体抵抗压缩的排斥作用非常大，所以在水和低速下的空气等常见流体都可以视为不可压缩流体，而高速（接近音速或超音速）下的空气是可压缩流体，会出现可压缩流体特有是激波等现象。飞机速度过快，会导致失去流速差形成的升力，超音速飞机的升力来源于撞击升力，亚音速飞机过快也会失去升力坠毁。


求解方程
  流体力学的方程非常难以求解，很多时候只能近似以及用摄动法。

  为了判断方程是否可解，或者说流体由分层的近似线性的层流转捩为非线性混沌的湍流的条件，就是判断能否忽略\(({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\)项，这一项可以看作是速度点乘速度梯度张量\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\)，速度梯度可以用牛顿粘性定律\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\propto \frac{1}{\eta}\)，可以近似得到\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\propto \frac{v}{\eta}\)，如果方程左侧尽量小，可以忽略这一项，而左侧正比于密度，也就是近似认为\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\propto \frac{\rho v}{\eta}\)，然后，是左侧尽量以时间变化项为主，空间变化项尽量小，所以空间尺度也是需要考虑的\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\propto \frac{\rho vL}{\eta}\)，这个正比的量无量纲，被称为雷诺数，最早由雷诺实验测得。\(Re=\frac{\rho vL}{\eta}\)，一般认为雷诺数为2000~4000为转捩条件，以下为层流，以上为湍流。

  流体的边界条件普遍是与外界一致，这种现象叫做边界层，速度由外界过渡为流体内部。

  边界层与流体差值指数衰减，厚度为层流\(\delta=5\frac{x}{\sqrt{Re_x}}\)，湍流\(\delta\approx 0.37\frac{x}{\sqrt[5]{Re_x}}\)，其中当地雷诺数\(Re=\frac{\rho vx}{\eta}\)，因为与雷诺数（后文会提到）相似而得名，x是边界层距离障碍物边界的距离。

  例如水波等表面横波，就是需要近似。这需要引入一个量，速度势，定义是速度势的负梯度为速度\({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}=-{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}}\mathit{\Phi}\)，用于描述无旋的流动。可以得到几个方程，有连续性方程：$$\nabla^2\mathit{\Phi}=\frac{\partial^2 \mathit{\Phi}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \mathit{\Phi}}{\partial z^2}=0$$
  还需要几个其他方程共同求解，首先，是表面震动，对于震动位移η，导数就是速度，\(v_z=\frac{{\rm d}\eta}{{\rm d}t}=\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial z}\)，忽略非线性的\(({\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}\cdot{\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over \nabla}})\eta\)，得到：$$\frac{\partial \eta}{\partial t}=\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial z}$$
  以及伯努利方程\(p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^2=C\)，对于非定常流，压强中存在对外做功或外部对内做功带来的随时间变化，单位体积对外做功就是压强的变化，\(\frac{F}{S}=-\frac{Fl}{Sl}=-\frac{mal}{V}=-\rho al\)可以得到这一项就是加速度势乘密度，也就是\(\rho\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial t}\)，只含时间偏导，代表非定常项。此外，震动位移就是深度，常数就是外界压强，例如大气压，同时去掉压强中大气压部分，得到\(\rho\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial t}+\rho g\eta+\frac{1}{2}\rho v^2\)，去掉非线性项\(\frac{1}{2}\rho v^2\)，得到：$$\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial t}+g\eta=0$$
  伯努利方程对时间求偏导，代入震动方程，得到：$$\frac{\partial^2 \mathit{\Phi}}{\partial t^2}+g\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial z}=0$$
  然后求解方程，这些方程很难变形成波动方程，只能设速度势的解为\(\frac{\partial^2 \mathit{\Phi}}{\partial t^2}+g\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial z}=0
\mathit{\Phi}=a(z)e^{i(kx-\omega t+\varphi)}\)，代入连续性方程，得到：$$-ak^2e^{i(kx-\omega t+\varphi)}+\frac{{\rm d}^2 a}{{\rm d} z^2}e^{i(kx-\omega t+\varphi)}=0$$ $$\frac{{\rm d}^2 a}{{\rm d} z^2}=ak^2$$
  这是一个震动方程，根为\(a=C_1e^{kz}+C_2e^{-kz}\)，代入边界条件\(z=-h\)时速度\(\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial z}=0\)，可以得到：$$-kC_1e^{-kh}+kC_2e^{kh}=0$$$$C_2=C_1e^{-2kh}$$$$a=C_1(e^{kz}+e^{-2kh-kz})$$$$\mathit{\Phi}=C_1(e^{kz}+e^{-2kh-kz})e^{i(kx-\omega t+\varphi)}$$
  代入另一个方程，得到：$$\omega^2C_1(e^{kz}+e^{-2kh-kz})e^{i(kx-\omega t+\varphi)}+gC_1(ke^{kz}-ke^{-2kh-kz})e^{i(kx-\omega t+\varphi)}=0$$$$\omega^2=kg\frac{e^{kz}-e^{-2kh-kz}}{e^{kz}+e^{-2kh-kz}}$$
  代入边界条件\(z=0\)，得到：$$\omega^2=kg\frac{1-e^{-2kh}}{1+e^{-2kh}}=kg\frac{e^{kh}-e^{-kh}}{e^{kh}+e^{-kh}}=kg\tanh(kh)$$
  代入伯努利方程与\(z=0\)，求出速度势，进一步求出各点速度：$$\eta=-\frac{1}{g}\frac{\partial \mathit{\Phi}}{\partial t}=\frac{1}{g}i\omega C_1(e^{kz}+e^{-2kh-kz})e^{i(kx-\omega t+\varphi)}=Ae^{i(kx-\omega t+\varphi)}$$$$C_1=-i\frac{Ag}{\omega(e^{kz}+e^{-2kh-kz})}=-i\frac{Ag}{\omega(1+e^{-2kh})}$$$$\mathit{\Phi}=-i\frac{Ag}{\omega(1+e^{-2kh})}(e^{kz}+e^{-2kh-kz})e^{i(kx-\omega t+\varphi)}=-i\frac{Ag(e^{k(z+h)}+e^{-k(z+h)})}{\omega(e^{kh}+e^{-kh})}e^{i(kx-\omega t+\varphi)}=-i\frac{Ag\cosh(k(z+h))}{\omega\cosh(kh)}e^{i(kx-\omega t+\varphi)}$$
  取实部，也就是e指数部分取虚部，得到实速度势：$$\mathit{\Phi}=\frac{Ag\cosh(k(z+h))}{\omega\cosh(kh)}\sin(kx-\omega t+\varphi)$$
  以及速度：$${\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over v}}=k\frac{Ag\cosh(k(z+h))}{\omega\cosh(kh)}\cos(kx-\omega t+\varphi){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over {\hat{i}}+k\frac{Ag\sinh(k(z+h))}{\omega\cosh(kh)}\sin(kx-\omega t+\varphi){\mathord{ \buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over {\hat{k}}}}}}$$
  可以看出，波的传播速度是\(u=\frac{\omega}{k}=\frac{\sqrt{kg\tanh(kh)}}{k}=\sqrt{\frac{g\tanh(kh)}{k}}\)，对于水非常浅的波，近似\(\tanh(kh)=kh\)，波速为\(u=\sqrt{gh}\)，对于水非常深的波，近似\(\tanh(kh)=1\)，得到\(u=\sqrt{\frac{g}{k}}\)。

  如果求解纵波，也就是声波，需要用到可压缩流体，非常复杂，需要摄动法。首先是连续性方程，只取x轴方向，得到：$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho v}{\partial x}=0$$
  然后是纳维-斯托克斯方程，忽略重力等外力，剪切小忽略黏性，只取x轴，得到：$$\rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial x}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x} $$
  把密度、压强和速度都设为初始值常数加上微扰\(\rho=\rho_0+\rho_1\)、\(p=p_0+p_1\)、\(v=0+v_1\)，代入两个方程，得到：$$\frac{\partial (\rho_0+\rho_1)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho_0+\rho_1)v_1}{\partial x}=0$$$$(\rho_0+\rho_1)\left(\frac{\partial v_1}{\partial t}+v_1\frac{\partial v_1}{\partial x}\right)=-\frac{\partial (p_0+p_1)}{\partial x}$$
  舍掉小量，化简，得到：$$\frac{\partial \rho_1}{\partial t}+\rho_0\frac{\partial v_1}{\partial x}=0$$$$\rho_0\frac{\partial v_1}{\partial t}=-\frac{\partial p_1}{\partial x} $$
  对连续性方程时间求导，纳维-斯托克斯方程空间求导，化简得到：$$\frac{\partial^2 \rho_1}{\partial t^2}+\rho_0\frac{\partial^2 v_1}{\partial x\partial t}=0$$$$\rho_0\frac{\partial^2 v_1}{\partial t\partial x}=-\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} $$$$\frac{\partial^2 \rho_1}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2}$$
  这个方程极其接近波动方程，只需要把\(p_1\)换成\(\rho_1\)即可，两者作为微小量，比例可以为求导，\(\frac{p_1}{\rho_1}\approx \frac{\partial p}{\partial \rho}\)，得到波动方程：$$\frac{\partial^2 \rho_1}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)\frac{\partial^2\rho_1}{\partial x^2}$$
  这个波动方程就是声波方程，可以看到，速度方向为震动方向，是纵波，可以认为是密度的波动，声速为\(u=\sqrt{\frac{\partial p}{\partial \rho}}\)，对于其他，可以使用理想气体状态方程近似\(p=\frac{nRT}{V}=\frac{mRT}{MV}=\frac{\rho RT}{M}\)，\(u=\sqrt{\frac{RT}{M}}\)，代入数值，可以求出常温（25℃）下声速为289m/s，不正确，因为真实气体需要加入修正的系数热容比\(\gamma=\frac{c_p}{c_V}\)，得到\(u=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\)，这个系数是1.4，计算得到结果346m/s符合实际。

结束
  流体力学真难。之后，就要开始学习等离子体物理了。