| 之前，我做过确定性和可预测性是否矛盾的猜想，现在证明了。我想办法在经典力学中强行线性化，推出了量子力学的薛定谔方程，证明了这一问题。最可怕的假设成真了，确定性和可预测性真的矛盾，而且，量子力学的难以理解的真相，是选择了可预测性的线性系统的性质而已。 推导过程 我推导这个方程甚至错过了看菲奖颁发，我找到了正确的思路，花了晚上几小时，完成了推导，当然，文章写完是第二天的事了。首先，是用欧拉-拉格朗日方程：$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$ 这个方程想要直接线性化很困难，因为拉格朗日量的线性项很难消除，但是，我想到了“常数变易法” ，对拉格朗日量L乘一个常数Ψ，然后，把常数Ψ变易为函数\({\mathit \Psi}(q,\dot{q},t)\)，从而拆解方程，去除非线性成分：$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L(q,\dot{q},t){\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L(q,\dot{q},t){\mathit \Psi}}{\partial q}=0$$$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\frac{\partial L(q,\dot{q},t){\mathit \Psi}(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L(q,\dot{q},t){\mathit \Psi}(q,\dot{q},t)}{\partial q}=0$$ 直接用链式法则分解：$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}{\mathit \Psi}+\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}L\right)-\frac{\partial L}{\partial q}{\mathit \Psi}-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}L=0$$$$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right){\mathit \Psi}+\frac{{\rm d} {\mathit \Psi}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}\right)L+\frac{{\rm d} L}{{\rm d}t}\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}{\mathit \Psi}-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}L=0$$ 整理一下：$$\left[\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}\right]{\mathit \Psi}+\left[\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}\right]L+\frac{{\rm d} L}{{\rm d}t}\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}+\frac{{\rm d} {\mathit \Psi}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$ 第一项是欧拉-拉格朗日方程，是0可以去掉：$$\left[\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}\right]L+\frac{{\rm d} L}{{\rm d}t}\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}+\frac{{\rm d} {\mathit \Psi}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$ 仔细观察，可以注意到有\(\frac{{\rm d} L}{{\rm d}t}\)这一项是非线性的，因为L普遍含有平方，例如速度的平方，这在对时间求导后会产生非线性项，如果没有抵消或为0，方程就是非线性的了。所以，应该让\(\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}\)为0，从而去掉非线性项，可以看出系数函数不含速度，也就是\({\mathit \Psi}(q,t)\)，去掉所有的含\(\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial \dot{q}}\)的项：$$-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}L+\frac{{\rm d} {\mathit \Psi}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$$ 运用全微分公式：$$-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}L+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}{\rm d} q+\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}{\rm d} t}{{\rm d}t}=0$$$$-\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}L+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{{\rm d} q}{{\rm d}t}\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}=0$$ 整理一下：$$\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-L\right)\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}$$ 左边出现了哈密顿量\(H=p\dot{q}-L=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}-L\)，右边出现了广义动量\(p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)，\(q=x,y,z\)时就是狭义动量，这可以变形成比例形式，而哈密顿量就是能量，比例可以定义为一个函数\(f(q,t)\)：$$-\frac{\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial q}}{p}=\frac{\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}}{E}=f$$ 然后可以列一个能量方程\(E=\frac{p^2}{2m}+V\)：$$Ef=\frac{(pf)^2}{2mf}+Vf$$$$\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}=\frac{(\nabla{\mathit \Psi})^2}{2mf}+Vf$$ 这个方程是非线性的，中间有\(\frac{(\nabla{\mathit \Psi})^2}{2mf}\)非线性项，必须去掉，而特殊情况\(f\propto {\mathit \Psi}\)可以让这一项线性化。实比例系数的量纲是\(\rm M^{-1}L^{-2}T\)，根据实验和前人的命名，是约化普朗克常量的倒数\(\frac{1}{\hbar}\)，可以得到两个公式：$$|E{\mathit \Psi}|=\left|\hbar\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}\right|$$$$|p{\mathit \Psi}|=\left|\hbar\nabla{\mathit \Psi}\right|$$ 可以看到系数函数求导后与自身成正比，所以一定是指数函数求和\({\mathit \Psi}=\sum{\mathit \Psi}_0 e^{a+bi}\)，为了保证能量和动量不发散，导致发散的指数的实部必须为0，也就是\({\mathit \Psi}=\sum{\mathit \Psi}_0 e^{bi}\)，这是一个波的形式，所以这就是波函数，波动性直接被推导了出来。相应的，前面两个公式可以改写为：$$E{\mathit \Psi}=\pm i\hbar\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}$$$$\mathord{\buildrel{\scriptscriptstyle \rightharpoonup} \over p}{\mathit \Psi}=\pm i\hbar\mathord{ \buildrel{ \small \rightharpoonup} \over \nabla}{\mathit \Psi}$$ 两者一正一负，我们一般定义负号在动量，这样可以确保能量和动量正负符合正常认知，也就是：$$E{\mathit \Psi}=i\hbar\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}$$$$\mathord{\buildrel{\scriptscriptstyle \rightharpoonup} \over p}{\mathit \Psi}=-i\hbar\mathord{ \buildrel{ \small \rightharpoonup} \over \nabla}{\mathit \Psi}$$$${\mathit \Psi}=\sum{\mathit \Psi}_0 e^{i(\mathord{\buildrel{\scriptscriptstyle \rightharpoonup} \over k}\cdot \mathord{\buildrel{\scriptscriptstyle \rightharpoonup} \over r}-\omega t+\varphi)}$$$$E=h\nu=\hbar\omega$$$$\mathord{\buildrel{\scriptscriptstyle \rightharpoonup} \over p}=\frac{h}{\lambda}\mathord{\buildrel{\scriptsize \rightharpoonup} \over{\hat{\lambda}}}=\hbar\mathord{\buildrel{\scriptscriptstyle \rightharpoonup} \over k}$$$$i\hbar\frac{\partial {\mathit \Psi}}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2{\mathit \Psi}+V{\mathit \Psi}$$ 成功推出了薛定谔方程，也就是量子力学的演化假设，顺带还推出了线性算符表示物理量，然后去看一下拉格朗日量变分：$$\delta\int_0^tL{\mathit \Psi}{\rm d}t=0$$ 然后可以看出，波函数是弥散的，对于整个空间，波函数在空间中整体的模始终为1时，可以等效为\(\int_0^t L{\rm d}t=0\)，对于复函数，模是与共轭相乘再对整个函数空间积分，也就是：$$\iiint_{-\infty }^{+\infty}\mathit{\Psi}\mathit{\Psi}^* {\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z=1$$ 成功推出了线性幺正波函数表示分布的波函数假设。以及保证了线性算符与波函数及其复共轭相乘得到物理量的值的性质，也就是厄米算符表示物理量的算符假设。
一些其他的分析 进行完计算，我们进行一些简单的定量分析： Q：为什么量子是点粒子，没有大小？ A：如果有大小，量子不同位置就会受到不同的力，整体上就会受到潮汐力，而潮汐力是非线性的。 Q：为什么量子有真随机性？ A：伪随机性需要混沌系统，这需要非线性，量子的随机过程也就只能是真随机性。 Q：为什么波函数会坍缩？ A：这个问题还是不好解释，坍缩是怎么完成的，我们暂时无法理解，但是，坍缩必须存在，因为如果不坍缩，在局域的情况下，局部的波函数会受到潮汐力，必须为点粒子，但是全局情况下又是波函数，质量、电荷等分布很弥散，所以必须有个坍缩过程，这就是为什么必须有量子测量假设。 Q：为什么量子无法区分？也就是全同粒子假设。 A：如果不全同，量子之间的交换项就不能忽略了，这也会导致非线性。 Q：为什么量子会隧穿？ A：因为量子如果被截断，就必须有非线性衰减，而量子在频率域的衰减必须是线性的，幅值域就是指数衰减了，也就隧穿了，也可以解释为是不确定性原理的位置不确定，或者能量不确定“从真空借来能量，完成跨越，然后还回去”。 Q：为什么量子不连续？ A：除了用波函数的边界条件解释外，也可以这么理解：打个不恰当的比方，三体问题一般不稳定，只有一些稳定的特解，氦原子却是稳定的，这可以解释为所有不稳定的情况都被舍掉了。 Q：如果我把量子系统强行摆成不稳定的混沌状态，这样就可以了吗？ A：不行，量子必须有纠正机制。量子不能是具体的不稳定状态，而是必须可以稳定化，量子必须可以从不稳定状态“跳”到稳定状态，这就需要状态不确定。也可以理解为不确定性原理是非线性强制线性化的过程中，舍弃了一些东西，带来了偏差，或者说是不确定性是线性与非线性之间的缝隙。 Q：如果我让温度足够低，让量子停滞在不稳定状态，就可以了。 A：还是不行，量子必须有零点能，能量不为零，这样你的方法就不成立了，对于真空，这个能量就是真空零点能，对应的效应就是量子涨落。 Q：如果我用一个强电场，把带电离子吸住，放在不稳定的位置，或者通过电场从外面控制量子混沌运动，就行了。 A：依然不行，强电场捕获粒子的过程中，会因为狭义相对论效应，感应出磁场，而粒子如果具有磁场，就会和感应磁场作用，扰乱电场捕获粒子的过程，从而让你的计划失败。而带电粒子有磁场，就像是带电粒子在自转一样，也就是自旋。 最后的沉思 确定性和可预测性是矛盾的，量子力学的核心就是线性与可预测性。 我们在这几十亿年的生命进化中，发生着确定的化学反应，有机物分解，酸碱的中和与ATP合成，RNA、DNA和蛋白质的合成，这一切都是源于量子的可预测性，如果没有可预测性，生命活动就会混乱，精确的生化反应也就无从谈起。化学反应如此可预测，例如氢气和氧气混合点燃，总是生成水，而不会因为几米外的蝴蝶扇了一下翅膀，生成物就变成了过氧化氢。非线性无处不在，例如我们的三维空间带来的平方反比定律，非线性统治着宏观世界。非线性就是不可预测性，无处不在的混沌，让我们理解明天的天气都很困难。非线性像一堵墙，高与宽都望不到头，堵在我们前方，核聚变与航宇技术，就是被非线性困扰的最重要领域，这决定了我们的历史导向何方。 我们从宇宙大爆炸来，从星尘中来，从分子中来，从不确定但可预测的量子中来；我们远方去，向确定但不可预测非线性的宇宙去。 |
